HALMAZOK
A halmazok olyanok, mint a zsákok, vannak bennük valamik (vagy nincsenek), ezeket elemeknek hívjuk.
A halmazokat nagybetűvel jelöljük, elemeiket kapcsoszárójelbe írjuk vesszővel/pontosvesszővel elválasztva, pl. A={2; 4; 6; 8}.
A halmazok hosszát így írjuk le: cardA=4 (mert az A halmaznak 4 eleme van). Az üres halmazokat áthúzott karikával jelöljük.
Az IN a természetes számok halmazát jelöli (nem i n-nek írják, hanem duplaszárú N-nek, csak nem tudtam olyan jelet írni), vagyis a pozitív egész számokét. Az IN* a nullán kívüli természetes számok halmaza.
Azt, hogy valami eleme egy halmaznak, így jelöljük: 2ЄA (2 eleme A-nak). Ha nem eleme, akkor ferdén áthúzzuk a jelet.
Vannak véges, és végtelen halmazok, a végeseknek meg lehet számolni, hány elemük van, a végteleneknek nem.
A halmazokat háromféleképpen lehet ábrázolni (példákkal):
1. A={0; 1; 2; 3; 4; 5} 2. lerajzoljuk 3. A={x | x<6, xЄIN}
1. Leírjuk a halmaz elemeit egytől-egyig, kivétel, ha végtelen a halmaz, olyankor ...-ot teszünk, és esetleg odaírunk egy ilyet pl. ...n..., ha mindig egyel nagyobb számról van szó, vagy ...2n..., ha páros számokról van szó...
2. Felírjuk a halmaz nevét, rajzolunk egy kört, és beleírjuk a halmaz elemeit:
3. Írunk egy szabályt, ami szerint csak egyféleképpen lehet felírni a halmazt, nehogy félreértés essék. Ezt az ábrázolást hosszú, vagy végtelen halmazoknál szokták használni, vagy feladatokban.
Halmazműveletek
A halmazokkal is lehet különböző műveleteket végezni, akárcsak a számokkal. Legkönnyebben úgy lehet ezeket megérteni, ha a 2. ábrázolásmódot használjuk.
Vegyünk két halmazt: A= és B=. Rajzoljuk le őket. Most próbáljuk meg őket a lehető legtakarékosabban újra lerajzolni. Jó esetben ez jött ki, vagy ilyesmi (a nyilakat és a színezéseket, illetve az írásokat még ne nézd):
A rajzon új halmazok keletkeztek, vagy lehet elképzelni: A pirossal bekarikázott rész a két halmaz METSZETE, vagyis a közös rész kettőjükből, azok az elemek, amik mindkettőben megvannak. A metszetet egy fejjel lefele U betűvel jelöljük. Gyakran van, hogy nincs két halmaznak közös eleme, tegyük fel, hogy C-nek és D-nek nincs, és azt így írjuk le, bár ezt ki lehetett az eddigiek alapján találni: C∩D=„üres halmaz” (ezt sem tudtam kiírni), ha pedig van közös elemük: A∩B={2; 4}
A kékkel körülvett rész az unió, vagyis az egyesítés, amikor a halmazok elemeit egy halmazba tesszük, egyesítjük, de ami megvan mindegyik halmazban, azt is csak egyszer írjuk bele. Az uniót nagy U betűvel jelöljük.
A zöld rész a különbség, amit visszafele perjellel jelölünk. Ez eddig az első halmazművelet, ahol a két halmaz sorrendje nem áll fenn a felcserélhetőség, vagyis, ha azt írjuk, hogy A\B, az nem ugyanaz, mint a B\A. Ez ugyanúgy van, mint amikor két számot kivonunk egymásból. Ha felcseréljük a két szám sorrendjét, nem ugyanaz lesz az eredmény. Vagy képzeljük el a körökkel, akár papírkörökkel: Ha van két körünk, és egymásra tesszük őket, és kivágjuk a felső körvonala mentén a másikat, nem mindegy, melyik van felül.
Végezetül, videók a témával kapcsolatban: