KÖZÖNSÉGES TÖRTEK
A közönséges törteket a csokihoz lehet hasonlítani, meg a tortához, vagy pizzához, meg igazából mindenhez, amiket pontosan ugyanakkora részekre/szeletekre/kockákra vágunk.
A tört egy olyan szám, ami nem természetes, nem egész. Például a 3, az nem tört, hanem egy egész, természetes szám. Példa, hogy lehet 3 birkám. Ezentúl is az egész, természetes számokhoz ezt a példát fogom használni. A fél, az már egy tört, mert nem lehet fél birkám (vegyük, hogy még élnie kellene), de fél tortám lehet, ezért a fél egy tört.
A közönséges törteket így írjuk le (jobb oldalon:
Íme egy tortán ugyanez:
A piros számot hívjuk számlálónak, mert megszámolja, megmutatja, hogy hány darab van a nevezőből (zöld), ami pedig azt mutatja meg, hogy hányfelé van osztva egy egész. A két szám közé törtvonalat írunk.
Ebben az esetben a nevező 4, mert a tortát négybe vágtuk, és a számláló 3, mert három darabról van szó, például 3-at eszek meg.
Ezt a törtet úgy kell kiolvasni, hogy háromnegyed. A 7/9-et hétkilencednek olvassuk, a 2/5-öt kétötödnek és így tovább.
Így tehát elmondhatom, hogy a piros részt, vagyis a torta háromnegyedét eszem meg.
Néhány példa törtekre és ábrázolásukra (nem csak kör alakba, vagyis tortába lehet rajzolni, lehet például négyzetbe, téglalapba, vagy háromszögbe is, a lényeg, hogy egyenlő részekre tudd osztani az alakzatot):
A százalékok olyan törtek, amelyek nevezője 100. Például az 50% 50/100-at jelent, a 24% 24/100-at.
Háromféle közönséges tört létezik: valódi, egységnyi és áltört.
A valódi tört számlálója kisebb, mint a nevezője, eddig csak ilyeneket mutattam. Ezek a törtek tényleg törtek, valódiak, valaminek a törtrészei, kisebbek, mint az 1, az egész.
Az egységnyi törtek mind egyenlőek 1-el, vagyis a számlálójuk és a nevezőjük ugyanaz. A torta háromharmada az az egész torta. Háromba vágod a tortát, és mindhármat megeszed, az egészet megeszed. Ugyanígy a négynegyed, ötötöd stb.
Az áltörteknek nagyobb a számlálójuk a nevezőjüknél, ehhez már több, mint egy torta kell, például a háromketted torta azt jelenti, hogy kettőbe vágod a tortát (nevező) és hármat veszel el belőle. De hogyan? Hát két tortád van, vagyis 2 egészed, mindkettőt kettőbe vágod, és hármat eszel meg. Ez így háromketted. Ezek azért áltörtek, mert nem egy egész törtrészei, hanem több egész törtrészei.
Az áltörteknél ki lehet emelni az egészet a törtből, vagyis az előbbi példánál ez azt jelenti, hogy megnézzük, hogy hány olyan tört van, ami teljes, egész (a példában csak egy), és azt nagyba írjuk, vagy középre, és melléje írjuk a maradék törtet, a mi esetünkben 1/2. És ezt így olvassuk ki: egy egész egyketted. A 11/2-ből 5 egész egyketted lesz, a 27/6-ból pedig 4 egész 3/6. Az egész kiemelése a törtből művelettel: ha a számunk x/y, abból x÷y egész maradék/y lesz. Ahhoz hogy megtudjuk, hány egész lesz, el kell osztani a számlálót a nevezővel, a maradék pedig lesz az új számláló, a nevező marad a régi.
Az egészet be is lehet vinni a törtbe, vagyis egyszerű áltörtté alakítani a törtet: ha az egészet összeszorozzuk a nevezővel, hozzáadjuk a számlálót, megkapjuk a számlálót, a nevező marad, amennyi volt. Vagyis összeszorozzuk az egész torták számát annyival, ahány szelet van mindegyiken, majd hozzáadjuk a nem egész tortából az szeletek számát.
Az egész kiemelésénél a számlálót osztani kell a nevezővel, hogy megkapjuk az egészek számát, a maradék lesz a számláló, az egész bevivésénél a törtbe pedig az egészet össze kell szorozni a nevezővel, és hozzáadni a számlálót, hogy megkapjuk a számlálót a végeredményben.
Törteket két esetben tudunk összehasonlítani, az egyik eset, amikor a számlálójuk, másik, amikor a nevezőjük egyenlő.
Ha a nevezőjük egyenlő, akkor az a nagyobb, amelyiknek a számlálója nagyobb. Ha van két tortánk és négybe vágjuk mindkettőt (egyenlő nevező), és egyikből kettő szeletet, másikból hármat eszünk meg, akkor az utóbbiból ettünk többet.
Ha a számlálójuk egyenlő, akkor az a nagyobb, amelyiknek a nevezője kisebb. Van két tortánk, mindkettőből két szeletet eszünk (egyenlő számláló), viszont egyik háromba, másik hatba van vágva. Abból ettünk többet, amelyik kevesebbe volt vágva, viszont nagyobb szeletei voltak.
Közönséges törteket csak úgy tudunk összeadni, ha a nevezőjük megegyezik. Nekem van egy négybe vágott tortából egy szelet tortám, neked van egy ugyancsak négybe vágott tortából két szelet tortád, összesen három szelet tortánk van négybe vágott tortából. Tehát a nevező ugyanaz marad (4), a számlálókat pedig összeadjuk (1+2=3). Vagyis 1/4+2/4=3/4
Kivonni ugyanígy, csak egyforma nevezőjű törteket lehet. Van egy hatba vágott tortából öt szeleted, kettőt elveszek (hatba vágottat), és így neked háromhatod tortád marad, vagyis egy fél tortád. 5/6-2/6=3/6
Egy törtet végtelen sokféleképpen le lehet írni. Mert ha van egy tortád, kettőbe vágod, és megeszel egyet, az ugyanaz, mintha még egyszer kettőbe vágnád, és két szeletet ennél meg. Ugyancsak a fél torta maradna meg. 1/2=2/4. A két törtet egyenértékűnek nevezzük.
Viszont hogyan lehet megállapítani, hogy két tört egyenlő-e, anélkül, hogy rajzolnál is? Vegyük ugyanezt a példát. 1/2 és 2/4. Ha összeszorozzuk az első számlálóját a második nevezőjével, az egyenlő az első nevezőjének és a második számlálójának szorzatával. Tehát, ha nem perjellel, hanem egy vízszintes vonallal (törtvonal) választjuk el a számokat a törtekben, tehát egymás alá írjuk a számokat, akkor ha keresztbe szorzunk, egyenlő eredményt kapunk.
Ha egy törtet át szeretnénk alakítani úgy, hogy az eredetivel egyenlő maradjon, vagyis két egyenlő törtet szeretnénk létrehozni, akkor két lehetőségünk van, vagy bővítünk, vagy egyszerűsítünk.
Észre lehet venni, hogy a példában a második szám nevezője kétszer akkora, mint az elsőé, és a számlálója is ugyanígy kétszer akkora. A bővítés azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét is szorozzuk ugyanazzal a számmal. Ha van egy tortánk kettőbe vágva, és meg akarunk enni egy szeletet, de először inkább még egyszer megfelezzük a tortát, így négy szelete lesz (a nevező már szorozva van kettővel, 2-ből 4 szelet lett), akkor nem egy szeletet kell megennünk, hogy ugyanannyit együnk, mint amennyit eredetileg szerettünk volna, hanem kétszer annyit (1×2), vagyis kettőt. Így már a számláló és a nevező is szorozva van kettővel, vagyis a tört bővítve lett kettővel.
Az egyszerűsítés ugyanígy működik, csak osztani kell a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a számmal.
A bővítéssel ellentétben, az egyszerűsítés nem hajtható végre a végtelenségig, mivel a számokat nem lehet akármeddig ugyanazzal a számmal osztani.
Ha egy törtet nem lehet tovább egyszerűsíteni, irreducibilis törtről van szó.
Ha van két törtünk, de nem tudjuk összeadni és kivonni őket, mert nem közös nevezőjűek (így nevezzük azt, amikor ugyanaz a nevezőjük), akkor közös nevezőre kell hozni őket bővítéssel és egyszerűsítéssel.
A következő mondatot csak az olvassa el, aki biztosan utána is érteni fogja a leírtakat.
Miután irreducibilis törtet csináltunk mindkettőből egyszerűsítéssel (ha eredetileg még nem voltak azok), keressük meg a nevezőjük legkisebb közös többszörösét, és bővítsük a törteket annyival, amennyivel bővítve őket a nevező a legkisebb többszörös lesz.
Például a 2/5-öt és a 3/10-et nem lehet összeadni, mert egyiknek 5, másiknak 10 a nevezője, de ha az első törtet bővítem kettővel, 4/10 lesz belőle, és így már össze lehet adni a 3/10-zel, az eredmény 7/10 lesz.
Van olyan hogy egyszerűsíteni is lehet egyik törtet, de olyan is (ez a legtöbbször), hogy mindkét törtet kell bővíteni, mint ebben a példában: 3/5 + 1/3 = 9/15 + 5/15 = 14/15. Az első törtet hárommal, a másodikat öttel bővítettem, hogy összeadhassam őket.
Íme megint néhány gyakorlat:
Egy törtet egész számmal szorozni úgy lehet, hogy csak a számlálóját szorozzuk meg a számmal. Például 2/6×2=4/6.
A szorzás ismételt összeadás, vagyis ha azt mondjuk, hogy 3-szor kettő, az azt jelenti, hogy háromszor adjuk össze a kettőt, vagyis 2+2+2, ami 6. 2×3=6. A törteknél is így van, van egy fél tortám (1/2), és szorzom kettővel, vagyis kétszer összeadom a felet, az egy egész (2×1/2=2/2=1), lesz egy egész tortám. Másik példa: Van egy hatba vágott tortából 2 szeletem, megszorzom 2-vel, vagyis kétszer összeadom a 2-t, így lesz négyhatod tortám.
Ha nem egy egész számmal szeretnénk szorozni a törtet, hanem egy másik törttel, akkor számlálót számlálóval szorzunk, nevezőt nevezővel. Például a 4/5×10/2-ből 40/10 lesz. Ahogy észrevehetted, szorzásnál nem kell közös nevezőre hozni.
Lehet egyszerűsíteni is, viszont nem csak mindkét számnál (vagy többnél) külön külön, hanem keresztbe is lehet, vagyis egyik nevezőjét, másik számlálóját osztjuk ugyanazzal a számmal. Ez azért lehetséges, mert a szorzásra jellemző a felcserélhetőség, vagyis 2×6 ugyanaz, mint 6×2, tehát 2/3×9/4 ugyanaz, mintha felcserélnénk a számlálókat vagy a nevezőket, mert így is, úgy is összeszorzódnak. Tehát ezért lehet keresztbe is egyszerűsíteni. Mert az ugyanolyan, mintha egyszerűen egyszerűsítenénk. Ezt a fajta egyszerűsítést (meg a másikat is igazából) lehet úgy írni, hogy áthúzzuk az eredeti számot, például a 6/7-ből a 6-ot, és föléje írunk egy kisebb 3-ast például. Tehát azt a számot, ami lesz belőle egyszerűsítés után. Itt 2-vel egyszerűsítettünk, keresztbe.
Az osztás úgy működik, hogy az osztandót leírjuk változatlanul, az osztónak vesszük az inverzét, vagyis megcseréljük a számlálót és a nevezőt, például 4/5-ből 5/4 lesz, osztásból szorzás lesz, összeszorozzuk a két törtet. Így 3/10:9/8=3/10×8/9=4/15 (egyszerűsítve). Ha csak egész számmal osztunk, akkor nem muszáj törtté alakítani, például 5-ből 5/1-et csinálni, a nevezőt megszorozni vele, mint itt: 3/5:2=3/10. Így is ugyanaz jönne ki, csak többet kell írni/gondolkodni: 3/5:2 = 3/5:2/1 = 3/5×1/2 = 3/10.
A hatványozás módjára megpróbálom az olvasókat rávezetni. Emlékeztetlek, hogy a hatványozás abból áll, hogy a számot valahányszor összeszorozzuk önmagával, tehát a hatványozás ismételt szorzás. Ha rájöttél a megoldásra, olvasd tovább, vagy ha sehogy sem akar menni, akkor is.
Ismételt szorzás, vagyis ha az van, hogy kétharmad a másodikon, az azt jelenti, hogy 2/3×2/3. Kétszer összeszorozzuk önmagával a 2/3-ot. Számlálót számlálóval, nevezőt nevezővel. Most megint lehet gondolkozni, hogyan hatványozzunk törteket anélkül, hogy szorzássá írjuk át.
Ha a kitevő 5 lenne, akkor a számlálót is ötször kéne összeszorozni önmagával, a nevezőt is. Tehát hatványozni úgy kell törteket, hogy a számlálót is, a nevezőt is hatványozzuk.
Eddig csak olyan hatványozásról írtam, amikor a tört zárójelbe van rakva, és ezen van a hatvány, viszont olyan is van, hogy csak a nevezőn, vagy csak a számlálón. Ilyenkor csak azt kell hatványozni, a másik marad a régi.